2022-11-22 11:09来源:m.sf1369.com作者:宇宇
函数的极值点要满足两个条件 :
极值点的导数等于零 。
极值点的左边和右边的导数异号 。
要对一个函数求求极值,首先对这个函数求导数,然后再让导数等于零,得到x值,;再让导数导数大于零,得到这个函数的增区间,再让导数小于零,得到这个函数的减区间;
然后判断在导数等于零的左右两边,如果左边增右边减,那么导数等于零的x值,就是极大值点;如果导数等于零的左右两边,左边是减函数,右边是增函数,那么,导数等于零的值就是极小值点
先根据导数等于0来求出相应的x值,然后在求出来的值左边和右边各取一个值代入导数的解析式来判断导数值是否一正一负,若是的话,则表示该点为极值点,否则不是极值点. 导数是二次函数,导数等于0,若求出两个x值,分别取求得的x左右各一个值,根据导数的符号来判断是否极值点.
假设y+z=0 那么z=-y带入原方程式得 (x-3y)^2 + 2y^2 +18=0 该式恒不成立(不考虑复数),所以y+z恒不等于0
类似一元函数,二元函数的极值点位于驻点和偏导数不存在的点,如:z=√(x²+y²),显然(0,0)是极小值点,但在该点两个偏导数都不存在。
fx(x,y),fy(x,y)的定义域与f(x,y)的定义域相同,就是没有偏导数不存在的点。与驻点没有关系
导函数极值存在的条件
①函数在处可导,是在处取得极值的必要不充分条件,而不是充要条件。即可导函数的极值点一定满足,但当时,不一定是极值点。求如的极值点,由得个解,但只有是极值点。一般地,可导函数在两侧的符号相反,则存在极值;如果在两侧的符号相同,则在处无极值。
②可导函数在点处取得极值的充要条件是,且在左右两侧的符号不同。 求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域; ②求导数;
③求方程的解;
④检查方程的解的左右两侧导数的符号,确定极值点(最好利用列表法)。 如果的符号从的左侧到右侧由正变负,那么为函数的极大值; 如果的符号从的左侧到右侧由负变正,那么为函数的极小值; 如果在的左右两侧符号相同,那么不是函数的极值。
因为还可能是不可导点,导数不存在的点。 例如f(x)=|x|,这个函数。 x=0就是这个函数的极小值点。但是这个函数在x=0点不可导。 所以极值点的导数不一定为0,可能没有导数。
求极值的方法有:直接法和导数法。
一、直接法。
先判断函数的单调性,若函数在定义域内为单调函数,则最大值为极大值,最小值为极小值
二、导数法
(1)、求导数f'(x);
(2)、求方程f'(x)=0的根;
(3)、检查f'(x)在方程的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
举例如下图:该函数在f'(x)大于0,f'(x)小于0,在f'(x)=0时,取极大值。同理f'(x)小于0,f'(x)大于0时,在f'(x)=0时取极小值。
例题如下:
扩展资料:
寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的,则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外,整个定义域上最大值(或最小值)必须是域内部的局部最大值(或最小值),或必须位于域的边界上。
因此,寻找整个定义域上最大值(或最小值)的方法是查看内部的所有局部最大值(或最小值),并且还查看边界上的点的最大值(或最小值),并且取最大值或最小的)一个。
要求极值点 首先要求函数的导数 导数等于零到点 如果零点的符号不相同,那么这个点就是函数的极值点
假设原函数为y=f(x)
1、原函数求导
2、另导函数等于0,求得x值
3、选择在定义域范围内的x值
4、画表格确定极值。左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。或者若函数二阶导f"(x0)<0,则f在x0取得极大值若f"(x0)>0,则f在x0取得极小值。
5、将x代入原函数求得y即为极值
拓展资料
极值是函数的最大值或最小值。如果一个函数在某个点附近的任何地方都有某个值,并且该点的值是最大值(小),则该函数在该点的值是最大值(小)。如果它大于(小于)邻域中其他点的函数值,则它是严格的最大值(小于)。这一点相应地被称为一个极值点或严格极值点。
二元函数极值的充分条件:
f(x,y)=f(x0,y0)+△x f_x'(x0,y0)+△y f_y'(x0,y0)+1/2[(△x)²f_xx'' (ξ,η)+2△x △y f_xy''(ξ,η)+(△y)² f_yy''(ξ,η)]=f(x0,y0)+1/2[(△x)²f_xx'' (ξ,η)+2△x △y f_xy''(ξ,η)+(△y)² f_yy''(ξ,η)]→f(x0,y0)+1/2[A(△x)²+2B△x △y +C(△y)² ]B²-AC<0时,中括号内符号恒定不变。A<0时,中括号内恒为负数,此时为极大值点。也就是说,在(x0,y0)邻域内,任意变动△x,△y,都会导致函数值变小,因此(x0,y0)是极大值点。A>0时,中括号内恒为正数,此时为极小值点。B²-AC>0时,中括号内符号不确定,因此不是极值点。B²-AC=0时,中括号内大于等于0,可能是极值点,也可能不是极值点
求极值的一般步骤:
1、找到等式f'(x)=0的根
2、在等式的左右检查f'(x)值的符号。如果为负数,则f(x)在这个根得到最大值;如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。
3、判断f'(x)无意义的点。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的无意义点。这些点被称为极点,然后根据定义来判断。
4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下:
(1)解方程式fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求一个实数解,可以求所有的塞音;
(2)对于每个停止点(x 0,y 0),找到二阶偏导数的值a,b,c;
(3)确定ac-b2的符号,并根据定理2的结论确定f(x 0,y 0)是一个最大值、最大值还是最小值。
上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(x, y)不可导时,这些点当然不是函数的驻点,但这种点有可能是函数的极值点,要注意另行讨论。
偏导数=0的点,或者不可导点,类比一元函数,导数为0的点和不可导点都可以取到极值