姓名：崔升    学号：

【嵌牛导读】：

  EM作为一种经典的处理大数据的算法，是我们在学习互联网大数据时不得不去了解的一种常用算法

【嵌牛鼻子】：经典大数据算法之EM简单介绍

【嵌牛提问】：EM是一种怎么的算法，其如何去观测其中隐变量的？

【嵌牛正文】：

1. 极大似然

极大似然（Maximum Likelihood）估计为用于已知模型的参数估计的统计学方法。比如，我们想了解抛硬币是正面（head）的概率分布θθ；那么可以通过最大似然估计方法求得。假如我们抛硬币1010次，其中88次正面、22次反面；极大似然估计参数θθ值：

θ^=argmaxθl(θ)=argmaxθθ8(1−θ)2θ^=arg⁡maxθl(θ)=arg⁡maxθθ8(1−θ)2

其中，l(θ)l(θ)为观测变量序列的似然函数（likelihood function of the observation sequence）。对l(θ)l(θ)求偏导

∂l(θ)∂θ=θ7(1−θ)(8−10θ)⇒θ^=0.8∂l(θ)∂θ=θ7(1−θ)(8−10θ)⇒θ^=0.8

因为似然函数l(θ)l(θ)不是凹函数（concave），求解极大值困难。一般地，使用与之具有相同单调性的log-likelihood，如图所示

凹函数（concave）与凸函数（convex）的定义如图所示：

从图中可以看出，凹函数“容易”求解极大值，凸函数“容易”求解极小值。

2. EM算法

EM算法（Expectation Maximization）是在含有隐变量（latent variable）的模型下计算最大似然的一种算法。所谓隐变量，是指我们没有办法观测到的变量。比如，有两枚硬币A、B，每一次随机取一枚进行抛掷，我们只能观测到硬币的正面与反面，而不能观测到每一次取的硬币是否为A；则称每一次的选择抛掷硬币为隐变量。

用Y表示观测数据，Z表示隐变量；Y和Z连在一起称为完全数据( complete-data )，观测数据Y又称为不完全数据(incomplete-data)。观测数据的似然函数：

P(Y|θ)=∑ZP(Z|θ)P(Y|Z,θ)P(Y|θ)=∑ZP(Z|θ)P(Y|Z,θ)

求模型参数的极大似然估计：

θ^=argmaxθlogP(Y|θ)θ^=arg⁡maxθlog⁡P(Y|θ)

因为含有隐变量，此问题无法求解。因此，Dempster等人提出EM算法用于迭代求解近似解。EM算法比较简单，分为两个步骤：

E步（E-step），以当前参数θ(i)θ(i)计算ZZ的期望值

Q(θ,θ(i))=EZ[logP(Y,X|θ)|Y,θ(i)]Q(θ,θ(i))=EZ[log⁡P(Y,X|θ)|Y,θ(i)]

M步（M-step），求使Q(θ,θ(i))Q(θ,θ(i))极大化的θθ，确定第i+1i+1次迭代的参数的估计值θ(i+1)θ(i+1)

θ(i+1)=argmaxθQ(θ,θ(i))θ(i+1)=arg⁡maxθQ(θ,θ(i))

如此迭代直至算法收敛。关于算法的推导及收敛性证明，可参看李航的《统计学习方法》及Andrew Ng的《CS229 Lecture notes》。 这里 有一些极大似然以及EM算法的生动例子。

3. 实例

[2]中给出极大似然与EM算法的实例。如图所示，有两枚硬币A、B，每一个实验随机取一枚抛掷10次，共5个实验，我们 可以 观测到每一次所取的硬币，估计参数A、B为正面的概率θ=(θA,θB)θ=(θA,θB)，根据极大似然估计求解

如果我们 不能 观测到每一次所取的硬币，只能用EM算法估计模型参数，算法流程如图所示：

隐变量ZZ为每次实验中选择A或B的概率，则第一个实验选择A的概率为

P(z1=A|y1,θ(0))=P(z1=A|y1,θ(0))P(z1=A|y1,θ(0))+P(z1=B|y1,θ(0))=0.65∗0.450.65∗0.45+0.510=0.45P(z1=A|y1,θ(0))=P(z1=A|y1,θ(0))P(z1=A|y1,θ(0))+P(z1=B|y1,θ(0))=0.65∗0.450.65∗0.45+0.510=0.45

按照上面的计算方法可依次求出隐变量ZZ，然后计算极大化的θ(i)θ(i)。经过10次迭代，最终收敛。

4. 参考资料

[1] 李航，《统计学习方法》.

[2] Chuong B Do & Serafim Batzoglou, What is the expectation maximization algorithm?

[3] Pieter Abbeel, Maximum Likelihood (ML), Expectation Maximization (EM) .

[4] Rudan Chen, 【机器学习算法系列之一】EM算法实例分析 .

大数据分析之聚类算法

大数据分析之聚类算法

1. 什么是聚类算法

所谓聚类，就是比如给定一些元素或者对象，分散存储在数据库中，然后根据我们感兴趣的对象属性，对其进行聚集，同类的对象之间相似度高，不同类之间差异较大。最大特点就是事先不确定类别。

这其中最经典的算法就是KMeans算法，这是最常用的聚类算法，主要思想是:在给定K值和K个初始类簇中心点的情况下，把每个点(亦即数据记录)分到离其最近的类簇中心点所代表的类簇中，所有点分配完毕之后，根据一个类簇内的所有点重新计算该类簇的中心点(取平均值)，然后再迭代的进行分配点和更新类簇中心点的步骤，直至类簇中心点的变化很小，或者达到指定的迭代次数。

KMeans算法本身思想比较简单，但是合理的确定K值和K个初始类簇中心点对于聚类效果的好坏有很大的影响。

聚类算法实现

假设对象集合为D，准备划分为k个簇。

基本算法步骤如下：

1、从D中随机取k个元素，作为k个簇的各自的中心。

2、分别计算剩下的元素到k个簇中心的相异度，将这些元素分别划归到相异度最低的簇。

3、根据聚类结果，重新计算k个簇各自的中心，计算方法是取簇中所有元素各自维度的算术平均数。

4、将D中全部元素按照新的中心重新聚类。

5、重复第4步，直到聚类结果不再变化。

6、将结果输出。

核心Java代码如下：

/**

* 迭代计算每个点到各个中心点的距离，选择最小距离将该点划入到合适的分组聚类中，反复进行，直到

* 分组不再变化或者各个中心点不再变化为止。

* @return

*/

public List[] comput() {

List[] results = new ArrayList[k];//为k个分组，分别定义一个聚簇集合，未来放入元素。

boolean centerchange = true;//该变量存储中心点是否发生变化

while (centerchange) {

iterCount++;//存储迭代次数

centerchange = false;

for (int i = 0; i < k; i++) {

results[i] = new ArrayList<T>();

}

for (int i = 0; i < players.size(); i++) {

T p = players.get(i);

double[] dists = new double[k];

for (int j = 0; j < initPlayers.size(); j++) {

T initP = initPlayers.get(j);

/* 计算距离 这里采用的公式是两个对象相关属性的平方和，最后求开方*/

double dist = distance(initP, p);

dists[j] = dist;

}

int dist_index = computOrder(dists);//计算该点到各个质心的距离的最小值，获得下标

results[dist_index].add(p);//划分到对应的分组。

}

/*

* 将点聚类之后，重新寻找每个簇的新的中心点，根据每个点的关注属性的平均值确立新的质心。

*/

for (int i = 0; i < k; i++) {

T player_new = findNewCenter(results[i]);

System.out.println(第+iterCount+次迭代，中心点是：+player_new.toString());

T player_old = initPlayers.get(i);

if (!IsPlayerEqual(player_new, player_old)) {

centerchange = true;

initPlayers.set(i, player_new);

}

}

}

return results;

}

上面代码是其中核心代码，我们根据对象集合List和提前设定的k个聚集,最终完成聚类。我们测试一下，假设要测试根据NBA球员的场均得分情况，进行得分高中低的聚集，很简单，高得分在一组，中等一组，低得分一组。

我们定义一个Player类，里面有属性goal，并录入数据。并设定分组数目为k=3。

测试代码如下:

List listPlayers = new ArrayList();

Player p1 = new Player();

p1.setName(“mrchi1”);

p1.setGoal(1);

p1.setAssists(8);

listPlayers.add(p1);

Player p2 = new Player();

p2.setName(mrchi2);

p2.setGoal(2);

listPlayers.add(p2);

Player p3 = new Player();

p3.setName(mrchi3);

p3.setGoal(3);

listPlayers.add(p3);

//其他对象定义此处略。制造几个球员的对象即可。

Kmeans<Player> kmeans = new Kmeans<Player>(listPlayers, 3);

List<Player>[] results = kmeans.comput();

for (int i = 0; i < results.length; i++) {

System.out.println(类别 + (i + 1) + 聚集了以下球员：);

List<Player> list = results[i];

for (Player p : list) {

System.out.println(p.getName() + ---> + p.getGoal()

}

}

算法运行结果：

可以看出中心点经历了四次迭代变化，最终分类结果也确实是相近得分的分到了一组。当然这种算法有缺点，首先就是初始的k个中心点的确定非常重要，结果也有差异。可以选择彼此距离尽可能远的K个点，也可以先对数据用层次聚类算法进行聚类，得到K个簇之后，从每个类簇中选择一个点，该点可以是该类簇的中心点，或者是距离类簇中心点最近的那个点。